数值的表示

计算机基础
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任何存储于计算机中的数据，其本质都是以二进制码存储的。计算机中所有的数都以补码形式存在，加减运算都是补码间的加法运算。为何及其要用补码存储，我们需要了解原码、反码和补码的概念。

原码

原码是符号位加真值的绝对值。有符号的二进制数将最高位作为符号位用来区分正负数。 正数的符号为 0，负数的符号为 1。

对于 8 位二进制数：

1
2
+1 的原码为 0000 0001
-1 的原码为 1000 0001

使用原码表示数值会出现两个 0

1
2
+0 的原码为 0000 0000
-0 的原码为 1000 0000

因此使用原码表示 8 位二进制数的范围就是 [1111 1111, 0111 1111] 也就是 [-127, 127]，里面包括了 +0 和 -0 两个数，总共有 256 个数

反码

  • 正数的反码与其原码相同
  • 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余逐位取反。

那么对于 8 位二进制数：

1
2
+1 = 0000 0001(原码) = 0000 0001(反码)
-1 = 1000 0001(原码) = 1111 1110(反码)

这样的话也会有两个 0， 0000 0000(+0) 和 1111 1111(-0)

补码

  • 正数的补码是其本身
  • 负数的补码是在反码的基础上 +1

对于 8 位二进制数

1
2
+1 = 0000 0001(原码) = 0000 0001(反码) = 0000 0001(补码)
-1 = 1000 0001(原码) = 1111 1110(反码) = 1111 1111(补码)

在计算机的运算中，只有加法没有减法，减法就相当于加上这个数的相反数，如果我们将符号位参与运算，并且只保留加法运算，对于原码来说，无法得到正确的结果，比如 1-1=0 这个运算。

  1. 用原码进行计算减法，结果是不正确的：
1
1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001(原) + 1000 0001(原) = 1000 0010(原) = -2
  1. 用反码进行计算减法，得到结果的真值是正确的，但是对于 0 这个结果具有特殊性。对于人类理解来说 +0 和 -0 是相同的，但对于机器而言，带有符号的 0 没有意义，且 0 会存在 0000 0000 和 1000 0000 两个编码。
1
1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001(反) + 1111 1110(反) = 1111 1111(反) = 1000 0000(原) = -0
  1. 用补码进行计算减法，能够修复原码中 0 的符号正负之分，及存在两个编码的问题。 0 只有一个编码 0000 0000
1
1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001(补) + 1111 1111(补) = 0000 0000(补) = 0000 0000(原) = 0

而且可以用 1000 0000(补) 来表示整数 -128

1
-1 - 127 = -1 + (-127) = 1000 0000(原) + 1111 1111(原) = 1111 1111(补) + 1000 0001(补) = 1000 0000(补)

实际上就是以前的 -0 用来表示 -128， 因此 -128 并没有原码和反码的表示（对 -128 的补码 1000 0001 算出来的原码是 0000 0000 是不正确的）

在 8 位二进制中：

  • 使用原码/反码表示的范围为 [-127, +127]， 包含 +0 和 -0 共 256 个数
  • 使用补码表示的范围为 [-128, +127]， 0 没有符号

由于机器使用补码，能够多表示一个最低数，那么 8 位的二进制数用原码或反码表示的范围是 [-127, 127], 而用补码表示的范围是 [-128, 127]

编程中常用到的 32 为 int 类型，能够表示的范围是 [-2^31, 2^31-1]

INT32

32 位的二进制数可以用 16 进制来表示：也就是将二进制的每相邻 4 位作为一个二进制数，计算出其值，再用 16 进制来表示。
比如 32 位的最大值： 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 （第一位是符号位）
用 16 进制表示就是： 0x7fff ffff （0x 开头表示 16 进制，16 进制的 15 是 f）

对于有符号的 32 位整数，0x8000 0000 可以表示其最小值
其二进制的原码是： 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 （最左边的 1 是符号位）
反码是： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 （符号位不变，其他取反）
补码是： 1 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 （反码 +1， 有进位）
补码的值为 -2^31

有符号的 32 位的最大值为 0x7fff ffff
有符号的 32 位的最小值为 0x8000 0000

不用加减乘除做加法

编程题： 写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用+、-、* 、/四则运算符号

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# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def Add(self, num1, num2):
        while num2:
            sum = (num1 ^ num2) & 0xffffffff
            carry = 0xffffffff & (num1 & num2) << 1
            num1 = sum
            num2 = carry
        return num1 if num1 <= 0x7fffffff else ~(num1^0xffffffff) # ~(num1^0xffffffff) 相当于 num1- 2 ** 32

在 python 中，要解决这道题比较麻烦的一点在于 python 中的位运算需要进行越界检查，要理解这道题的解决方法需要学习一下关键点：

  1. 原码、反码、补码

  2. 越界检查
    由于 python 的 long 类型可以表示无限位，不存在数值溢出情况，因此要人工设置边界，避免死循环。在编程中常用到的是 32 位整形，因此我们把数值和 0xffffffff 进行按位与操作， 0xffffffff 代表 16 进制下的边界，也就是 32 位整数的边界。

  3. 正负数判断
    正数 & 0xffffffff 得到的数仍是其本身
    负数 & 0xffffffff 得到对应二进制数的真值，得到的值会超过最大值

比如 -15 & 0xff = 1000 1111(原) & 1111 1111 = 1111 0001(补) & 1111 1111 = 1111 0001 = 241
而 8 为二进制的最大值为 127，因此 -15 & 0xff 超过了 127，因此我们可以根据结果与最大值比较判断是正数还是负数。

32 位整数的最大值为 0x7fffffff，如果 num1 <= 0xfffffff，就返回本身；否则，返回原来负数的值，也就是 ~(num1^0xffffffff)

参考 https://blog.csdn.net/lrs1353281004/article/details/87192205